北有云溪 -
最近在做资产配置方面的模型，准备整理四种经典传统的资产配置模型，准备在数学上进行详细推导，分别为：马科维茨均值－方差模型（MVO），风险平价模型，风险预算模型，Black-Litterman模型。四种模型都是以马科维茨提出的投资组合理论为基础，在不同的假设，不同要求下构建的。所以在此放在一起进行整理。
因为四种模型都以马克维茨的投资组合理论为基础，所以先介绍马克维茨的投资组合理论。
对于投资，不论是单一资产还是组合资产，都必须考虑的是两样东西：收益和风险。我们总是追求收益尽量的大或者风险尽量的小，那么如何界定和衡量一类资产或者一份投资组合的风险和收益就成了关键问题。马科维茨用数学的方式定义了一套衡量资产收益和风险的方法，并形成了一套理论体系，后人基本上都是在这个理论体系下进行研究和扩展。
马克维茨投资组合理论包括两部分内容：均值方差分析方法和投资组合有效前沿模型。下面展开具体介绍：
马科维茨定义出了资产的收益和风险：
资产的收益为：资产过去收益的数学期望。
资产的风险为：资产过去收益的数学标准差(方差)。
数学表达式如下：
其中：E(R)表示资产组合的收益， 表示资产组合的风险。 为分配到各个资产的权重向量，其分量和为1， 为第i个资产的期望收益，计算方法为第i个资产过去一段时间（人为给定）的收益均值。n为资产总数。
为n个资产的协方差矩阵。
从上面资产收益和风险的定义可以看出，这种分析方法的利弊：
优点：
1、给出了资产收益和风险的明确数学定义。
2、在下面马克维茨均值方差模型数学推导上，优化问题是一个漂亮的凸优化，在数学上是一个很完美的问题，方便求解和扩展。
3、这种分析方法可以延伸出很漂亮的理论：有效前沿理论、夏普资本资产定价模型，多因子分析模型等等。
缺点：
1、这种定义假设资产的收益和风险是稳定的，既未来的收益和风险和过去一样，这在实际情况中不满足。
2、风险定义为波动是存在疑问的，在实际情况中波动不一定是风险，最简单的向上波动怎么可能是风险。
因为这种分析方法优点很多，并且提供了一种研究问题的方法论，即使有缺点，这种分析方法也被大家接受。针对这种方法的缺点，后人在应用时，做了或多或少的弥补。例如风险平价模型和风险预算模型就只假设风险是稳定的，放开了对收益稳定的假设。又例如人们为了解决风险的定义问题，引入了下行波动率、最大回测、在险价值等概念。
所以在学习和应用一个模型是，必须首先清楚这个模型适用的假设是什么。
在引入了资产收益和风险的定义后，我们就可以对资产或者资产组合进行收益和风险分析。
我们经常说鸡蛋不要放到一个篮子里面，投资应该尽量分散。这句话的理论基础就来自这种分析方法，下面我们就用均值方差分析法推导出这种观点。
我们只需要比较投资单一资产和投资两类资产（资产组合）那个好那个坏就可以。
假设有风险资产A和风险资产B，由上面资产收益和风险的公式得到。
其中：
此时，我们把收益E(R)当成y轴，把风险 当成x轴，建立坐标系，则资产A的坐标为 ,B 资产的坐标为 。
由上面风险和收益的公式，消掉权重 ,得到如下公式：
所以当 时：
所以，此时风险和收益的关系是一个线性关系，且刚好是过资产A和资产B两个点的直线。
此时如果配置资产A和资产B的组合，如果不允许做空，则不管怎么配置（ 不论取什么值），从风险方面，都不可能避险，都不如买单一资产划算。
当 时：
所以，此时风险和收益的关系也是线性关系，但是有个绝对值，所以是两条直线， 可以验证，两条直线是过两个资产中一个资产点和另一个资产点关于y轴镜像点的两条直线。
此时可以配置出风险等于零的资产组合，也就是说当找到两个完全负相关的资产时，可以配置一个无风险的投资组合。
当 时：
由于
关于 是一个凸函数。
所以整体的图形如下：
所以，可以配置出风险小于原资产中较小风险的组合。
所以，从数学上推导出了投资组合优于单一资产投资，且组合中资产的相关性越小，配置出的组合风险越低。
上面我们推出了资产组合的投资会优于单一资产的投资，在推导过程中，我们发现如果对两个风险资产进行配置，如果两个风险资产的相关系数不是1或者－1，则所有形成的风险资产组合会形成一个上凸的凸集。同理如果对多个风险资产进行配置，形成的也是一个上凸的凸集。因为市场上不做空的话，不可能存在相关系数为－1的资产，所以，全市场上所有风险资产配置形成的图形如下。
上图中阴影部分为市场上所有资产的范围，可以看出，阴影部分越靠左边，风险越小，阴影部分越靠上边，收益越高。所以阴影部分左上部分是比较好的资产。左上部分的边界是最好的资产，这条边界线被称为有效前沿。
可以看出有效前沿上的点就是给定风险下（给定x轴坐标），最大话收益（y轴）的资产配置。
由上图，我们找到无风险资产点（一般为国债） ，我们在阴影部分中随便找一点 ，将这两点链接成一条直线。则这条线的斜率为：
这个公式可以理解为：投资资产相比于无风险收益获得的超额收益与承担的风险比，既单位风险上的超额收益，显然这个比率越大资产的性价比就越大，这个比率被称为夏普比率：
其中：
上面连接两个点的线叫做资产分配线（CAL），其直线方程为：
其中：
从上图可以找到一个点，这个点的夏普比率最大，既过无风险资产点向资产可行区域做切线，得到的左上角的切点P。可以使的夏普比率最大。
这条切线叫做资本市场线（CML），其直线方程为：
其中：
可以看到，在加入无风险资产配置时，资产组合在这条线上时为最佳。在这条线下方的资产组合都劣与这条线上的资产组合。
这个资产点P，被称为市场均衡点，也叫市场组合点。这个地方之所以叫做市场均衡点，有一个非常重要的假设，这里假设全市场的所有投资者都有相同的预期收益或者相同的预期风险。如果没有这个假设，这个不可能是市场均衡点。有了这个假定，市场就会在这个点（市场组合点）稳定下来，全市场风险资产的市值比就会刚好是这个市场组合点的配置比。也就是说全市场资产配置的组合点就是这个点。
下面我们要证明一下为什么这个切点是市场均衡点，也就是为什么这个切点是全市场资产的市值加权组合。
证明：
假设市场上有m个资产 ,其预期收益为 ，全市场的投资者对市场上所有资产进行投资，因为由市场均衡条件的假设，全市场投资者都有相同的预期收益和预期风险，所以可以将全市场的投资者合并为一个投资者，全市场的投资为这个投资者的一个投资组合。
那么，此时这个总投资者的投资组合可以表示为：
又由于市场均衡的假设，投资者都是理性的和投资者是风险厌恶的。
所以，总的资产组合点A一定在上图中的P点，因为这一点与无风险资产构成的资产组合性价比最高（夏普比率最大）。
所以市场组合点就是上面的P点，纳闷这个市场组合点为什么是均衡点呢？
因为，由投资组合的公式： ,可以得到，全市场资金按照权重 分配到资产 上了。所以此时资产 的市值必须是： .其中Money为全市场的总资金。
所以资产 的市值就是 。
所以这个组合的资产权重就是各个资产的市值权重。
所以上述说法得到证明。
有了市场组合点，我们可以进一步的对资产的风险进行分解，因为资产的风险定义为资产的标准差，这个风险可以分成两部分，系统风险和非系统风险。具体推导如下：
设A，P两个资产分别为 ,其中P为市场组合点。
则两个资产配置的组合的总风险为：
关于 是一个凸函数。
将 看作 的未知数，求组合总体风险 对两类资产的边际风险：
边际风险求出来了，我们定义两个资产的总风险贡献如下：
得到总风险贡献后，因为两个风险贡献加起来不是原风险，相差一个 。需要把TRC再除以一个 。
所以，组合的风险可以分解为下面两部分：
其中：
,是用组合资产的收益去回归A资产的收益的回归系数。
,是用组合资产的收益去回归市场组合资产点的收益的回归系数。
到此，我们就把一个资产组合的风险分成了两部分。对于第二部分中的
。 表示了我们配置的组合和市场组合点的关系，这部分风险是市场本身带来的，和我们挑选的资产A没有关系，所以这部分风险我们称为系统风险。第一部分风险我们称为非系统风险。 所以一个资产组合的风险分解成了系统风险和非系统风险。
现在我们先不考虑非系统风险，只考虑系统风险。
考虑第二部分风险的公式，是用组合资产的收益去回归市场组合资产点的收益的回归系数。我们一般不用这个来表示，我们取一个等价的形式来研究，既：是用市场组合资产点的收益去回归组合资产的收益的回归系数。
公式如下：
这个系数我们有一个单独的名字，叫做 系数，既：
之所以不研究 ,而研究 系数，是因为两种要大都大，要小都小，虽然 在风险贡献的公式上很完美，但 没有 系数的意义好。 系数代表了，市场组合点对目标资产配置点的影响， 是目标资产配置点对市场组合点的影响。我们一般把目标定为资产配置点，所以还是采用 系数比较好。
其实采用两者中的任意一个，对风险的分解上差别不大。差别大的是用 系数，是当时夏普找到用来构建资本资产定价模型的基础。
资本资产定价模型我们下面介绍，这里先解决证券市场线（SML）。
上面我们已经把资产的风险分解为系统风险和非系统风险，我们如果把一开始的坐标系中横坐标（资产风险）替换为资产的系统风险，会出现什么图形呢？
我们知道，资产P是市场均衡点，如果我们在资本市场线（CML）上进行组合配置，也就是买一部分无风险资产，买一部分市场组合点对应的资产， 我们以资产收益为纵坐标，以 系数（系统风险）为横坐标， 画出我们的风险和收益的关系图。
如果我们在配置时，不配置无风险资产，全部配置市场组合点的资产。此时我们目标资产的收益和 系数为：
如果我们在配置时，全部配置无风险资产，此时我们目标资产的收益和 系数为：
如果我们配置 的无风险资产， 的市场组合点资产。我们的收益和 为:
消掉 得到：
这个就是证券市场线（SML）的直线方程，其图下如下：
由上面资本市场线（SML）的直线方程
可以看出，在资本市场线（SML）上的 任意资产的收益可以被市场组合资产点的收益以及其 系数确定。
在资本市场线（SML）外，等式左边和等式右边会有一个差值，这个差值记为 .则此时，上面的公式变成了：
此时，所以一个资产的收益，可以看成三部分，市场带来的收益 ,无风险收益 ，资产本身原因导致的收益 .
这个 ,代表了资产提出市场因素和无风险收益因素剩下的因素导致的收益，其实还可以进行对其进行分解，着就是多因子模型，因为本文讨论资产配置模型，所以对多因子模型不过多介绍。
至此，我们由资产的收益和风险的定义出发，把均值方差分析法所导出的结论推导了一遍。均值方差分析法还可以定义一个概念，就是效用函数。下面详细介绍。
在投资时，每一个投资者，会根据收益风险给每一个资产打分，分数越高，说明这个资产在投资者心中越有吸引力，这个打分模型可以用以下函数给出：
其中：U为最终分数，也叫做效用值，A是投资者厌恶系数， 只是为了推导方便约定的一个系数。
以上函数被称为效用函数。
可以看到，当A>0时，U与收益成正相关，与风险成负相关。收益越高U越大，风险越小U越大。此时投资者是风险厌恶的。
当A＝0时，U与收益成正相关，与风险无关。收益越高U越大，此时投资者是风险中性的。
当A<0时，U与收益成正相关，与风险正相关。收益越高U越大，风险越大U越大，此时投资者是风险偏好者。
注意在公司中，收益率r必须采用小数形式，不能用百分比。
对于每一个投资者，都有一个相应的固定的A,此时对于每一个固定的效用值 ，其效用函数变为：
当A>0时，将其画在以风险 为横坐标，收益E（r）为纵坐标的坐标系里面。其是一个开口向上的、以y轴为对称轴的抛物线，这条抛物线叫做无差异曲线。 A越大，开口越大， 越大，其越靠上。然而 不能无限大，因为当 大到一定程度时，在市场上买不到对应的资产了，所以， 最大就是使无差异曲线与有效前沿相切。此时切点就是这个投资者的最优资产配置点。
在市场均衡理论中，假设全市场的预期都是一样的，大家追求相同的预期收益和预期风险，那么，此时大家的效用函数也都一样，从而形成全市场的效用函数：
此时A是市场的风险厌恶系数，这条无差异曲线必然和有效前沿相切。其切点就是市场均衡点。
上面详细介绍了均值方差分析方法,以及衍生出得模型和概念，下面主要推导马克维茨的资产配置模型。
其实上面画有效前沿的过程中就用到了马克维茨资产配置模型。既在风险资产组合的配置时，我固定风险水平求最大化收益，或者固定收益水平求最小化风险。具体模型介绍如下。
设有m个资产 ,其预期收益为 ，其预期风险为 .
现在要对这m个资产做一个投资组合，既对m个资产进行资金分配，设 为资金分配权重，我们最后追求的是使得得到的资产组合性价比最高（固定风险最大化收益，或固定收益最小化风险）。
上面这个问题被称为资产配置问题。
对于资产配置问题，首先提出解决办法的是马克维茨，马克维茨构建了一下模型。
首先马克维茨对这个问题做了假设：
1、资产的收益用收益的均值表示，资产的风险用收益的标准差来表示。
2、用资产过去的收益的均值代替资产未来的预期收益，既认为收益是稳定的。
3、用资产过去的收益的标准差代替资产未来的预期风险，既认为风险也是稳定的。
4、进行组合配置时，只考虑收益和风险。
5、投资者都是风险厌恶的。
由上面的假设可以看出这个模型的有缺点。
优点：
1、将资产配置问题完美的转化成了一个数学的优化问题，而且是凸优化问题。
2、模型简单，容易扩展。由这个模型衍生出来一系列模型。其衍生过程相当完美自恰。
缺点：
1、现实中，多数资产的收益和风险不是稳定的，这一确定是这个模型的最大问题所在，过去的收益和风险不能代表预期。
2、模型中定义的收益和风险太局限。例如实际的风险不一定是标准差，因为向上波动不是风险。
在以上的假设上，我们可以求出对m个资产的任意一个资产组合的收益和风险：
其中： 为资产组合配置权重，且有 。 为资产 过去的收益的均值。 为m个资产过去的收益序列的协方差矩阵。
所以资产配置中最求性价比最高可以转化为一下三个模型：
其一：
其中： 有 这个约束是不允许做空，去掉这个约束就是允许做空。 为给定的组合收益。
其二：
其中： 有 这个约束是不允许做空，去掉这个约束就是允许做空。 为给定的组合收益。
这两个数学优化问题都是凸优化问题，且是一对对偶问题。如何解决这个凸优化，我在SVM的文章中有详细介绍，可用拉格朗日乘数法，这里不展开。这里要说明的一点是，在上面的两个问题中，如果添加约束线性等式约束，或者线性不等式约束，还是凸优化问题（因为有的时候会对个别资产的持仓有限制），不影响原求解过程。
其三：
马克维茨资产配置还有第三种形式，最大化效用函数：
其中： 有 这个约束是不允许做空，去掉这个约束就是允许做空。 为给定的组合收益。
第三种形式与前两种不一样，前两种为给定风险最大化收益，或者给定收益最小化风险。第三种解决的是给定效用函数，求最大化效用的问题。当全市场的效用函数一样时，求得的就是市场均衡点的资产配置。
上面就是马克维茨的资产配置模型。
需要特别指出的是，这个模型存在一个缺点，对收益和风险估计是敏感的，如果收益和风险变化，其配置出的权重变化很大。 另由于其假设，这个模型在实际中效果并不好，因为假设2，3根本不满足。但是这个模型给出了资产配置的框架，我们可以应用这个框架构造新模型,风险平价，风险预算和BL模型都是在这个框架基础上构建的。
其实这个模型的思想很简单，就是把马克维茨优化问题转化成了其他问题。这个模型不去求最优化问题，既不去找性价比最高的点，因为从上面的马克维茨的模型看出，最优的点不稳定，很难找到，即使找到也失去的时效性。
所以这个模型换了一个角度思考这个问题。既直接给出一个强制性的要求：要求所有参与配置的资产对最终组合的风险贡献必须相等。
有了这个要求，每个资产所带来的风险都相等了，从而做到了各种资产在风险水平上对总组合的影响是一样的。
为什么会有这个奇怪的要求呢？这个模型是桥水基金搞出来的。
桥水认为，各类投资品（权益、债券、商品等）的收益率由未来的经济情况决定，而经济情况则主要由经济增长和通胀两大因素驱动。根据它们的变动，经济环境可分为四种情况 —— “经济上升”、“经济下降”、“通胀上升”、“通胀下降”，不同类投资品在不同经济环境中表现各异。
既然各类资产的收益由其所处的经济情况决定，那么我们如果能预测出未来经济环境，多配置未来经济环境中收益高的组合，就能配置出好的资产组合。但是桥水不做这个预测，因为预测不准，所以桥水退而求其次，既然预测不准，那就做一个在任何经济环境中都承当一样风险的组合。这就是风险平价最初的本意。
风险平价有很多版本，这里给出来的是最有名的等风险贡献投资组合版本。就是上面说的要求所有参与配置的资产对最终组合的风险贡献必须相等。其模型推导如下：
设有m个资产 ,其预期收益为 ，其预期风险为 .
现在要对这m个资产做一个投资组合，既对m个资产进行资金分配，设 为资金分配权重，我们最后追求的是使所有参与配置的资产对最终组合的风险贡献必须相等。
我们可以求出对m个资产的任意一个资产组合的风险：
对于其中第i个资产的边际风险为：
对于其中第i个资产的总风险为：
同理对于其中第j个资产的总风险为：
对于其中第i个资产的总风险为：
所以资产组合的风险：
所以根据风险平价的要求，令：
其中：
可以看出这个方程组其实不好解，也不一定有解。
所以引入最优化问题，用最优化的方法求解方程组，构造以下最优化问题：
可求出 .
上面就是风险平价模型的推导。由推导过程可以看到，这个推导中没有用到资产的预期收益，所以这个比马克维茨的资产配置模型假设少了一条对资产预期收益的假设。但资产的预期风险假设相同。具有模型假设有：
1、资产的风险用资产收益序列的标准差表示。
2、资产的预期分享用资产过去的收益序列的标准差表示，既假设资产的标准差是稳定的。显然这个假设在现实中不一定成了。
3、进行组合配置时，只考虑各个资产风险相等。
4、投资者都是风险厌恶的。
风险平价的优缺点也很明显：
优点：
1、对资产的预期收益不做假设。放宽了假设条件。
2、各资产风险贡献一样，配置出得组合资产非常稳定。
缺点：
1、组合配置中若不考虑杠杆，配比严重偏向风险低的资产。
其实马克维茨资产配置模型重要不在于模型本身，而在于其框架，风险平价模型本身重要也不在于其模型本身，而在于其思想，它教会了我们一种思想，在预测不准的情况下，我们就按风险相等处理。
有了风险平价模型，我们就顺利成章的会想到，如果我不想让各个资产的风险相等，而是想让各个资产的风险比等于我给定的比。例如配置股票和债券时，如果按风险平价去配置，会有一个弊端，就是最后求出的权重债券占比太大，从而影响
我的收益。
我们此时想多承担一些股票带来的风险，少承担一些债券带来的风险，应该怎么办，此时，人们就发明了风险预算模型。
所谓风险预算，是风险平价的一种推广，风险平价是风险预算的一种特例。
与风险平价相比，我们不要求各个资产的风险贡献一样，我们要求各个资产的风险贡献等于给定的比例，或者给定的值，这就是风险预算模型。具体如下：
设有m个资产 ,其预期收益为 ，其预期风险为 .
现在要对这m个资产做一个投资组合，既对m个资产进行资金分配，设 为资金分配权重，我们最后追求的是使所有参与配置的资产对最终组合的风险贡献等于事先给定的比率。
由上面风险平价的模型推导得到：
对于其中第i个资产的总风险为：
对于其中第j个资产的总风险为：
若资产i与资产j事先给定的风险贡献的比率为 .那么有：
同风险平价一样，这个方程组不是很好解，也不确定有没有解。
所以引入最优化问题，用最优化的方法求解方程组，构造以下最优化问题：
所以可以求得配置比 。
可以看出风险预算模型的假设比风险预算换了一条，就是对各个资产的风险贡献不要去相等，而要求等于某个预算值。其他假设都是一样。
由于风险预算是风险平价的推广，所以风险预算比风险平价优点是更灵活。即使更灵活，但由于模型始终是从风险角度出发，没有考虑收益，所以收益还是不是最大化。又加上假设了资产风险的稳定性这个不切实际的假设，这个模型虽然比前两个好，但是还是优缺点。
在上面模型的推导中，我们看到得到的马克维茨的资产组合模型是在假设过去的收益是未来的预期收益和过去的风险是未来的预期风险的基础上得到的。这些过去代替未来的假设在大多数情况下并不成立。所以人们想到了一种去修订这些过去收益和风险的方法，从而让求出的这个组合更符合逻辑。
Black-Litterman模型的思想是这样的，先用马克维茨的资产组合模型求出市场均衡收益，在结合投资者观点，得到一个最终期望收益。再通过这个期望收益反解出组合配置。
这里需要指出的是，发明BL模型的两位大神并未公布他们的证明过程，网上很多推导都是利用贝叶斯公式，把这个问题转化为先验推导后验，这个方法在数学上做了过多的假设，不是很严谨，但已是最好的方法。目前未找到其他更严谨的证明方法。
具体的模型推导如下：
设有m个资产 ,现在要对这m个资产做一个投资组合，既对m个资产进行资金分配，设 为资金分配权重，我们最后追求的是综合考虑市场均衡收益和投资者观点后得到一个合理的财产配置。
模型的框架可以用下图表示出来：