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归结原则，又称为海涅(Heine)定理，即：
设f(x)在x0的某空心邻域内有定义，那么在x趋于x0时f(x)的极限存在的充要条件是对任何以x0为极限且含于该空心邻域的 数列,
当n趋于无穷大时，极限f(xn)都存在且相等。
连接了数列与 函数，使两者的有关性质可以 灵活运用。归结原则的各种形式及其应用
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归结原则的各种形式及其应用
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归结原则的各种形式及其应用
李小新
()池州师专数学计算机科学系 安徽池州 247000
[ 摘要 ] 本文主要通过归结原则寻求数列极限与函数极限的联系 ,从而将两类问题相互转化 。
[ 关键词 ] 归结原则 ;数列极限 ;函数极限
() [ 中图分类号 O1 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 1008 - 7710 200403 - 0066 - 03
通过对数列极限与函数极限知识的学习 ,我们发现无 证明 :
论从定义 、性质还是应用方面 ,两者都有着许多相似 ,从而 ( ) ε () 1必要性 设 limf x= A ,则对 Π> 0 , u03d6 M > 0 ,使x ?? 使我们相信数列极限与函数极限之间一定存在某种联系 。 得当 { x { > M 时 ,有 { f ( x) - A { <ε,另一方面 ,设 x n归结原则就是联系这二者的桥梁 。 ( ) ??n ??{ , 则对上述 M > 0 , u03d6 N > 0 ,使得当 n > N 一 、归结原则的各种形式 ) ε( 时 ,必有 { x{ > M ,从而有 { f x- A { <, 即证得 n n
华师大教材《数学分析》给出了当 x ?x时的归结原 0 ) ( limf x= A n n ?? 则的描述 : ( ) ε充分性 反证 。假设 limf x?A ,则 u03d6> 0 。 0 x ??
( δ) ( ) [ 定理 ] 设 f 在 U?x, ′内有定义 , limf x存在的 ) ( 0 对 ΠM > 0 , u03d6 x满足 ,x,> M ,但 ,f x- A ,? 0 0 0 x ?x 0
ε ( δ) 0充要条件是 :对任何含于 U?x, ′且以 x为极限的数列 0 0
) ( { x} ,极限 limf x都存在且相等 。 n n ) ( ε取 M= 1 , u03d6 x满足 ,x,> 1 ,但 ,f x- A ,? 1 1 1 1 0n ??
) ( ε取 M= 2 , u03d6 x满足 ,x,> 2 ,但 ,f x- A ,? 2 2 2 2 0( ) ( ) 简述为 : limf x= A Ζ 对 Πx?xn ??, 有 lim fn 0 x ?x n ?? 0
( ) x= A 。 n
) ( ε由此 ,我们可以仿照写出其它五种形式的归结原则 。 取 M= n , u03d6 x满足 ,x,> n ,但 ,f x- A ,?n n n n 0
()均采用简述
() ( ) ( ) ) ( 1limf x= A Ζ 对 Πx??n ??,有 limf x=n n x ?? n ??
由 ,x,> n 知 ,这样构造的数列{ x}为无穷无量 ,即 n n A
( ) ) ) ( ε( x??n ??,但由 ,f x- A ,?知 ,{f x}不可能 n n 0 n ( ) ?n ??, 有 lim f() ( ) 2lim f x= A Ζ 对 Πx?+n x ?+ ? n ??
( ) 以 A 为极限 ,与条件矛盾 ,故 limf x= A ( ) x= A n x ??
() ( ) εδ( ) 4必要性 设 lim f x= A ,则对 Π> 0 , u03d6> 0 ,当 () ( ) ?n ??, 有 lim f3lim f x= A Ζ 对 Πx?-n +?- ? x n ?? x ?x 0 ( ) x= A n δε( ) 0 < x - x <时 ,有 ,f x- A ,<。设{ x } 为以 x 为极0 n 0
() ( ) 4lim f x= A Ζ 对任何以 x为极限的递减数列0 +δ限的递减数列 ,对上述, u03d6 N ,当 n > N 时 ,便有 0 < x- x n 0x ?x 0
δ) ε)( ( <,于是当 n > N 时 ,便有 ,f x- A ,<,故 lim f x ) n n ( { x} ,有 limf x= A n n x ?? n ??
= A () ( ) 5lim f x= A Ζ 对任何以 x为极限的递增数列0 -x ?x 0 () ( ) ε充分性 反证假设 lim f x?A ,则 u03d6> 0 ,不论正 0 +) ( { x} ,有 limf x= A n n x ?x 0 n ??
数δ多么小 ,总存在一点 x′,虽然 0 < x′- x<δ,但 ,f ( x′) () () 下面对 1、4进行证明 ,其它类似 。0
收稿日期 :2003 - 11 - 25
( ) 作者简介 :李小新1976 - ,男 ,安徽怀宁县人 ,池州师专数学系计算机系教师 ,在职硕士研究生 ,主要研究主向为应用数学。ε() - A ,? 、用来证明某些函数极限不存在 以 x ?x为例,结 1 00 ) ( 论 1 ,若 u03d6 以 x为极限的数列{ x} , lim f x不存在 , 则10 n n δ) n ?? δ( 取= , u03d6 x,满足 0 < x- x<,但 ,f x- A1 1 1 0 1 1 2 ( ) limf x不存在 。 x ?x ε,? 00 ′ ″ 结论 2 若 u03d6 以 x为极限的数列{ x} 与{ x} ,使得0 n n 1 δδ取= min{ ,x- x} , u03d6 x满足 0 < x- x<,但 2 1 0 2 2 0 2 2 2′ ″ ) ) ( ( ( ) limf x与 limf x都存在但不相等 ,则 limf x不存在 。 n n n ?? n ?? x ?x ,f ( x) - A ,?ε 0 2 0 1 例 1 证明 lim cos 不存在+x x ?0 1 1 取δ= min{ ,x- x} , u03d6 x满足 0 < x- x<δ, 2 n n - 1 0 n n 0 n n ) ( ) ( [ 证一 ]设 x= ,则 x?0 n ??,且{ x} 单 n n n 2nπ+π
但 ,f ( x) - A ,?ε n 01 n + 1 调递减 ,但 cos = cos ( nπ+π) = ( - 1) ,显然 lim cos n ?? x n
1 1 不存在 ,由结论 1 知 lim cos 不存在 这样构造的数列{ x}满足 : n +x x nx ?0 ?x> x> x> 1 2 n 1 1 2 2 ) ( ε?,f x- A ,?) (( ) n 0[ 证二 ]设 x= ,y= ,则 x?0 ,y? n n n n 2nπ+π 2nπ
1 10 ,且{ x} ,{y}均为单调递减数列 ,但 lim cos = lim cos n n ) ( δ ?0 n ??, 因此 lim x= 由于 0 < x- x<? n n ?? n ?? n 0 n n x nn ?? 2
1 x,可见 x是以 x为极限的递减数列 , 但由 ?知 , lim f 0 n 0 π) ( (2nπ+π) = - 1 , lim cos = lim cos 2n= 1 ,由结论 2 n ?? n ?? n ?? y n ( ) x?A ,矛盾 ! n 1 , lim cos 不存在 。知 另外 ,我们还可以仿照写出函数有非正常极限 + ?, +x x ?0
2 、函数极限的许多结论与数列极限的类似 ,可根据归 - ?, ?时的各种不同形式的归结原则 ,现举出几例 ,其它
结原则 ,利用数列极限的结论推导出相应的函数极限的结 情形类似 ,不再赘述 。
论 。 ( ) ) ( ) ( limf x= ?Ζ 对 Πx?xn ??,有 lim f x=?n 0 n x ?x n ?? 例 2 利用数列极限的保不等式性证明函数极限的 0
保不等式性 ?
( ) ( ?lim f x= - ?Ζ 对 Πx: x< x且 x?xn ?n n 0 n 0 2( ) ( ) ( δ) 设 limf x与 lim g x都存在 ,且在某邻域 U?x, ′ x ?x 0 0 x ?x x ?x 0 0 ) ) ( ?,有 limf x= - ? n ( ) ( ) ( ) ( )内有 f x?g x,则 limf x?lim g x n ?? x ?x x ?x 0 0 ( ) ( ) ?lim f x= + ?Ζ 对 Πx?+ ?n ??,有 lim fn x ?+ ? n ?? ( ) ( ) 证明 :设 limf x= A , lim g x= B ,由归结原则 ,对任 x ?x x ?x 0 0 ( x) = + ? n ( ) δx何含有 U?、′内且以 x为极限的数列{ x} , 有 lim f 0 0 n 下面对 ?给出证明 。 n ??
( x) = A , lim g ( x) = B ,又易知 f ( x) ?g ( x) ,则根据数列 n n n n ( ) 证明 : ?必要性 已知 lim f x= + ?,即 : n ?? x ?+ ? 极限的保不等式性得 A ?B ,即证得结论成立 。( ) Π G > 0 , u03d6 M > 0 ,当 x > M 时有 f x> G ,又已知 limn ?? 3 、在函数极限运算中 ,有一些很好的性质 ,如洛比达
x= + ?,对上述 M > 0 , u03d6 N > 0 ,当 n > N 时 ,有 x> M , n n () L′Hospital法则 , 连续性等 , 但数列极限运算中并不具 ) ) ( ( 从而 + x> G ,即 limf x= + ? n n 备 ,这时可以利用归结原则 ,将数列极限转化为函数极限 。 n ??
( ) 充分性 反证 ,假设 lim f x?+ ?,即 u03d6 G> 0 ,对 0 () l nsi n arct gn x ?+ ? 例 3 求 lim 2 n ??(π- 2arct gn) ) ( ΠM > 0 , u03d6 x> M ,有 f x?G 0 0 0 π ) ( 取 M= 1 , u03d6 x> 1 ,有 f x?G 1 1 1 0解 :令 x= arct gn ,则当 n ??时 ,x?n n 2) ( 取 M= 2 , u03d6 x> 2 ,有 f x?G 2 2 2 0co sX ( ) l n si n X si n X - co sX 而 lim = lim = lim = 2 x ππ() ()(πx - 4 - 2 X x 4 - 2x)- 2x x ?x ?x ? 2 2 2 ) ( 取 M= n , u03d6 x> n ,有 f x?Gn n n 0 sinX 1 1 lim = - ,故原式 = - 8 x - 8 8 x ?2 2 1 n 从而构造一个数列 { x} , 显然 lim x= + ?, 而数列 {f ( ) ( ) n n 求 lim nt g n 为自然数例 4 n ?? n ?? n 1 ( ) ( ) x}却不是无穷大量 ,矛盾 ! 于是 , lim f x= + ? n 2 x ?+ ? t gx x因 为 lim lim = 解 : x ++二 、归结原则的应用 x ?0 x ?0 x tgx - x 证明 : ?只要证明对任一无理数α?a ,b ,f (α) = 0 即 3 tgx - x t gx - xx 1 + ( ) αx 可 ,在a ,b 内取有理数列{ r} ,使 r?n ??,则由连续 n n
2 ) α) ( ) ) ( ( (( 函数性质可知 ,f r?f n ??,而 f r= 0 n = 1 ,2 , n n t gX - X sec x - 1 1 又 lim = lim = 3 2 ++3 ) α) (,故 f = 0 x 3x x ?0 x ?O
t gx - x ?对 Πx, x?a , b , x < x,可在a , b 内取两有理 1 2 1 2 lim = 0+x x ?0 ( ) 数列{ r′}与{ r} ,使{ r′}递减且 r′?xn ??,{ r} 递增 nn nn1 n X ) t gX - XtgX - X (故 lim [ 1 + ] = e X +( ) 且 r?xn ??,r′< r,则由函数的连续性与极限性质 n 2 11 x ?0 1 1可知 : 2 t gX x3 因此 lim = e X +x ?0
( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( 2 f x= limf r′?f r′< f r?limf r= f x 11 n11 n 2 1 1 nn ?? n ?? 3 ( ) 取 x = ,则由归结原则知 lim nt g = en ?? n n 故 f 是a ,b 上的严格递增函数 。( ) 4 、若已知当 x 有某种趋向时 ,f x有极限 ,则求该极 参考文献 : ) ( 限只要取一具有与 x 同一趋向的数列{ x} ,函数列{f x} n n
1 华东师范大学数学系编. 数学分析 M . 北京 : 高 ( ) 的极限即为函数 f x的极限 。
等教育出版社 ,2001 例 5 设函数 f 在区间a ,b 上连续 ,则 :
2 许绍溥 ,姜东平 ,宋国柱 ,任福贤编. 数学分析教程 ( ) ?若对任何有理数 r ?a , b , 有 f r= 0 ,则在 I 上 f
M . 南京 :南京大学出版社 ,2000 ( ) x?0
3 刘玉琏 ,刘伟 ,刘宁 ,林玎编. 数学分析讲义练习题 ) ( ?若对任意两个有理数 r、r且 r< r, 在 f r< f 1 2 1 2 1
选解M , 北京 :高等教育出版社 ,1996 ( ) r,则 f 在a ,b 上严格增 。 2
()责任编辑 :章家顺
?(上接第 29 页) 立功行为 ,充其量成立自首 , 这同国外 查监督机制 ,重点审查其程序的合法性和其形式 、实质要 的有关污点证人规定相比 :首先 ,从宽幅度小 ,一般只能得 到件的完备性 。
“可以酌情从轻处罚”的结果 。其次 ,犯罪人得不到公诉 机至此 ,本文已从理论诠释 、现实探索 、制度规范三方面 关的事先承诺 ,即我国的犯罪人在为公诉机关充当控方 证逐一探讨了污点证人制度在我国构建的必要性和可能性 。 人指证他人时 ,尚弄不清自己的命运如何 ,更不存在作 证诚然 ,作为一个外来的新鲜事物 , 它的发展 、成熟乃至完 的积极性和主动性了 。故这种有效打击犯罪的手段在 我善 ,是需要一个长期思考探索的过程 ,但正如最高人民法 国司法实践中尚未充分发挥作用 。随着我国经济和社 会院院长肖扬所言“, 围绕实现公正与效率的主题 ,推进司法
?的转型 ,法律也吸纳了大量多元化的内容 。因此 ,修正 我改革 ,是当今乃至今后很长时期的一项重要工作 。” 们传统的法律理念 ,大胆构建污点证人制度 ,已成必然 。 注释 :
三 ??宋英辉 ,罗海敏《: 构建我国污点证人制度》《, 检
当然 ,污点证人也非“羽世独立的佳人”而洁白无瑕 。 察日报》2002 年 8 月 23 日 。
如使用不当 ,可能也会妨碍社会正义的实现 ,轻则放纵犯 ?卞建林译《: 美国联邦刑事诉讼规则和证据规则》, 罪 ,重则冤枉无辜或侵害被定罪被告人公平审判权 。因 中国政法大学出版社 ,1996 年版 。
此 ,在制度设计时强调规范性是完全必要的 。首先 ,应限 ?樊崇义《: 议刑事诉讼法律观的转变》《, 政法论坛》 定案件范围 。既要考虑犯罪的严重社会危害性 ,又要考虑 2001 年第 2 期 。
收集证据证明犯罪的现实需要 ,故将案件范围限于有组织 ?[ 美 ]波斯纳《: 法律之经济分析》,台湾商务印书馆 犯罪 、贿赂犯罪 、共同犯罪等为宜 。其次 ,依照我国刑事诉 1897 年版 ,第 18 页 。 讼法第 46 条规定 ,坚持“孤证不能定罪”原则 ,即要认定被 ?参见《最高人民法院关于处理自首和立功具体应用 告人有罪 ,除污点证人外 ,还需要收集其它的各种相关证 法律若干问题的解释》第一条第二款 、第五条 、第六条 。 据 。最后 ,对污点证人不予指控或减轻指控 ,须不得损害 ?《人民法院报》2003 年 4 月 21 日 。 法律和社会公共利益 ,为此 ,有必要建立检察机关内部审
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归结原则，又称为海涅(Heine)定理，即：
设f(x)在x0的某空心邻域内有定义，那么在x趋于x0时f(x)的极限存在的充要条件是对任何以x0为极限且含于该空心邻域的 数列,
当n趋于无穷大时，极限f(xn)都存在且相等。
连接了数列与 函数，使两者的有关性质可以 灵活运用。
设f(x)在x0的某空心邻域内有定义，那么在x趋于x0时f(x)的极限存在的充要条件是对任何以x0为极限且含于该空心邻域的数列,当n趋于无穷大时，极限f(xn)都存在且相等。当极限存在时，它的所有子列极限都存在且相等，当一般用归结原则的反面，
归结原则说的是lim(x→X.）f（x）存在的充要条件是对于任何含于其邻域内且以X.为极限的数列xn,极限lim(n→∞）f（xn）存在且等于im(x→X.）f（x）.因此在lim(x→X.）f（x）存在的情况下,xn的选取是很随意的,只要是以X.为极限就行.因此由于你问题中说的不是很清楚,所以我只能说若X.=0时,取Xn=1/n是可以的.