数学教育的价值包括哪些方面？

一、数学的科学价值

数学的科学价值，是指数学对自然科学的产生与发展的作用和意义。自19世纪20年代以来，数学的研究对象和方法在本质上越来越凸现出与(自然)科学的区别，数学也就从科学中分离出来，自立“门户”，自成体系。然而，这种分离并不是数学与科学的割裂，而是表明数学的应用更加广泛，不仅包括(自然)科学，也包括政治学、历史学、经济学、语言学、军事学等人文、社会科学，以及音乐、绘画、雕塑等艺术科学，还涉及技术、经济建设乃至社会的许多领域。特别是当今时代，科学技术迅猛发展，科学数学化的趋势越来越明显，现代科学正朝着广泛应用数学的方向发展。

二、数学教育的科学素养价值

数学教育的科学素养价值，是指数学教育对形成人的科学素养(如科学意识，科学思想、方法，科学精神，科学态度，科学品质)的意义和作用。数学教育之所以具有这种价值，是因为数学仍保留着科学的许多特性，如“都具有对可以理解的规则的信念;想像力和严格逻辑的相互影响;诚实与公开的思想;同行评论的极端重要性;第一个取得重大发现的价值;国际范围和随着大功率电子计算机的发展，运用电子计算机技术，开辟新的研究领域”。

三、数学教育的“数学科学价值”

数学教育的“数学科学价值”本应是没有疑问的，但现在却成了一个复杂的课题。随着人们对数学的本质和价值的认识的不断发展，人们在反思如何认识数学教育中数学的“科学性”与“人文性”的关系，如何看待中小学数学内容的性质定位和价值取向，中小学究竟应该教授什么样的数学等若干认识论和价值论的问题。

(一)数学知识的应用

在科学的产生和发展中，应用数学知识是最为直接的，也是最为广泛的。这从天文学的发展可以窥其一斑。哥白尼在提出日心说时，并没有多少观测证据，甚至在某种程度上，一些结果还不如原来的地心说准确，正是他依据数学的理论、运用数学的方法建立起新的天文学理论;开普勒则进一步在天文学上应用数学，他利用第谷、布拉赫的大量观测数据，通过大量的计算和数学分析工作，其结果使得他抛弃了从古希腊人开始就一直认为行星具有圆形轨道的观点，从而建立起新的行星运行理论;到了伽利略和笛卡儿那里，数学就成了一般的科学方法。在19世纪，数学应用的成果更为突出:高斯提出行星轨道的计算方法(1809)，泊松建立计算电势的微分方程(1811)和理想气体的状态方程(1823)，傅立叶利用三角级数研究热传导(1822)，麦克斯韦用数学语言表达法拉第的力线概念(1856)并建立电磁理论，预言电磁波的存在(1864)，等等。此外，科学与数学的结合产生了一些交叉和边缘学科，如数学物理方程(方法)、生物数学、数学生态学等。

(二)数学(符号)语言的应用

数学是科学的主要术语。数学语言与科学之间的联系，早在古希腊自然哲学中就已经凸显。“希腊哲学已经发现了一种新的语言--数的语言。这个发现标志着我们近代科学概念的诞生”。在现代，把数学“看成一种新的强有力的符号体系，对一切科学的目的来说，这种符号体系比言语的符号体系具有无比的优越性”〔1〕。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略也认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。比如，当代物理学的基本规律--牛顿力学的运动规律，牛顿万有引力定律，电磁场原理，热力学第一、第二定律，统计力学原理，狭义相对论原理，广义相对论原理，量子力学定律，电子的相对论波动原理，规范场论等的表述，如果没有数学语言，是不可想像的。

(三)数学思想方法的应用

数学计算、数学证明、数学模型等方法对科学的产生起着至关重要的作用。比如，计算是各门科学(技术)中最为重要的方法之一，1846年勒维耶通过计算预见海王星，在科学史上传为佳话。在现代科学中，由于数学思想方法的广泛应用，从而产生了大量与计算有关的边缘科学和交叉科学，如计算力学、计算流体力学、计算结构力学、计算物理学、计算化学、计算生物学、计算胚胎学、计算地质学、计算地震学、数值气象学等。

(四)数学思维方式的应用

诸如符号化、数学化、抽象化、公理化、结构化、逻辑分析、推理计算、从数据进行推断、优化等数学思维方式在科学理论的建构和发展中起着非常重要的作用。比如，牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉格朗日的《解析力学》、克劳修斯的《热的机械运动理论》等科学史上的奠基性的著作都是运用公理化的方式写成的。又如生物学的发展，起初，它“不得不像其他自然科学一样，从对事实的简单分类开始……”，其后逐渐“进展到了一个‘演绎公式化理论"的新阶段”。

有个开出租车的朋友跟我辩论，说他现在的生活和工作中几乎不需要数学，连算账都有计价器代劳了。他问我：“在中学阶段学的数学到底有什么用？”。在我平时的教育实践中，也经常有学生问: “为什么要学数学？学了数学又什么用？”。我发现，作为数学老师，虽然我也经常教育学生数学学习很重要、很有用，但到底数学到底有什么用处我也似乎不甚清楚。每次讲起来，我能应付的无非是“数学是学好其它学科的基础”、“数学能够培养人的思维”等等。也难怪有些学生走上社会后认为，“学习数学除了应付考试以外没有任何价值”。

这实际上涉及到了数学教育价值的问题。其实，即便在数学家之间对数学价值的认识也常常在“有用—无用”之间徘徊。①毫无疑问，一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的。但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越直接实用的局限。②可见，如果我们单纯地从实用的角度看待数学的话，有些数学确实是没有用的，或者说至少对一些人、或对某个阶段是没有用的。举个例子来讲，最早用虚数的大概是卡丹（Cardano, Gerolama, 1501~1576），他在1545年的一本书上讲到三次方程的解法时偶然用到虚数。尽管后来别人越来越多地应用它，但是总认为它是无法理解的。直到19世纪，借助于高斯的几何解释的帮助，人们才清楚地理解了虚数—复数。对复数研究作出重大贡献的物理学家、数学家哈密尔顿（Hamilton W.R. 1805~1865）考虑了复数明确的力学意义，而这种力学解释对电动力学与相对论产生了重要的意义。③

当然我现在讨论的问题主要还是基础教育阶段的数学教育的价值问题。我先从基础教育的价值谈起。

人有多种需要，不仅有生理和物质需要，而且有精神文化需要。人满足物质和精神需要的手段和途径也有许多，但通过教育提高素质是基本手段和途径。人接受教育不仅是为了满足现在的精神需要，也是为了通过素质的提高，为将来获得经济利益、满足物质需要和精神需要的能力奠定基础。④因此，人需要教育，教育能满足人的需要。

教育满足了人的需要既促进了人的发展、提升了人的价值，同时也实现和提升了教育自身的价值。教育价值是教育功能满足人的教育需要的有用性，是人根据自己的教育需要选择教育功能所形成的教育意义和作用。教育的根本功能是满足个人对知识、能力、德性和社会对合格公民和专业人才的需要。⑤可见基础教育阶段的教育的价值是满足了这个年龄阶段的人对教育需要，为人学习基础知识、提高基本的提出问题思考问题解决问题的能力、培养进一步养成高尚德性基础和为成为社会合格的人才打下全面素质基础。基础教育为人的发展奠定基础，以此促进人的发展和社会的发展，因此基础教育的价值是基础教育满足人的需要与社会需要的属性的统一。由于基础教育处于特定的教育阶段，它的价值还具有其独特性。它的独特性体现在，从素质教育的观念看，基础教育价值提高人的素质，促进人的全面发展；从脑科学的角度看，基础教育开发人的潜能，促进人的成长发展。⑥另外，教育活动本质上就是一种价值活动。这是我们认识教育活动的一个基点，也是分析基础教育价值的一个基点。⑦

就数学而言，它自古以来就是基础教育中极其重要的组成部分。古希腊哲学家苏格拉底就十分重视数学教育。柏拉图的《理想国》（Republic）中，苏格拉底设想了哲学王统治社会，而个人智慧则用来控制激情。培养哲学王的计划的教育目标是要把学生带向对终极真理的认识。首先，为了实用的目的，也为了让学生思考数字的抽象意义，要让他们学习数学。目的是帮助他们发现真理，而不是传授他们真理。苏格拉底认为对数学抽象意义的学习可以帮助人们把注意力从存在物的影像上移开，转向对“善”的光亮的光柱。此后，平面几何和立体几何的学习也起到同样的作用。除实际用途外，这两个学科也有助于学生把目光转向关于“善”的抽象世界。⑧

由此作为教育组成部分的数学教育的价值不言而喻。数学价值不仅有其实际的用途，更有其数学的特殊性质带给人类精神层面需要的价值。绝大多数人从事于数学是基于人类物质生活上的需要，但是在这一过程中确实也使人产生一中精神上的需要：理性生活的需要。⑨并且这种深刻的精神需要带领人类朝着寻找世界和自我的终极真理不屈不挠地奋力前行。

这样看来，我们要讨论的已经不应该是数学教育到底有没有价值的问题，而是它在现代的教育中到底有哪些价值和我们如何理解这些价值？

这个问题其实不容易回答。正如我开头所讲的，它也许没有一个供人们使用的现成的标准答案。

比如说，我们每个人都学习语言，有人只是学会了讲话，有的人学会了阅读，有的人高明一些可以写点文章，而更高明的人可以创造复杂高深的文学作品，甚至还有人专门以研究语言中的语法规则作为其专业。我觉得数学教育也是类似的。正规的数学就像拼写和语法一样，是一种对约定规则的正确应用。这也许只对专业人士，比如数学家和从事数学教育的人，才有价值，也只有他们才能够理解。有意义的数学就像用来讲述有趣故事的报纸杂志，当然这些故事都必须是真实的。通过接受一定的数学教育，我们大部分人都能够理解一些数学，都在生活中能够用数学解释、解决一些问题，或者理解一些用数学来解释的问题。例如，我们很多人会看财务报表，能够理解复杂的数据曲线等等。最好的数学就应该像文学作品，故事源自于你眼前活生生的生活，致使你把精力与感情投入其中。⑩这对数学教育提出了极高的要求，是数学家的数学和普通人的数学的对接，要求数学专业人士将正规的数学语言中与现实有关的那部分用大众喜欢的能理解的语言解读出来，并以此影响大众用数学对现实的理解。

可见，数学教育的价值并不是一个绝对的、静止的范畴。根据马克思主义的价值观，价值不是单纯的客体属性，也不是单纯的主体需求，而表现为客体属性在多大程度上满足主体需求。数学教育的价值也表现为不同性质的学习者对数学的需求以及满足程度。⑾因此从数学教育的对象来看，甚至对不同时期的数学教育的对象，数学教育的价值都是存在着差异的。

对于一开始提到的出租车司机，数学教育对他的价值是学会看数字，学会在机器不工作的时候还有能力算账。当然，也有可能他在工作之外还需要一些数学，比如家庭开支的记录和计算等等。也就是说，对于从事于数学专业没有什么相关度的职业的大部分人来说，数学教育的价值就是让他们学会一些基本的计算技能。

基础教育作为国民教育的基础环节，作为全民终身教育的初始阶段，作为教育的金字塔的塔基，具有教育程度的基础性、教育对象的全性、教育内容的全面性的特征。⑿所以，对于基础教育阶段的学生来讲，数学教育的价值是不一样的。因为他们还不清楚以后将会从事什么样的职业，将会哪个领域中发展。从暂时的实用角度看，数学教育确实能够帮助他们在考试中取得好成绩，进而逐步攀上更高的社会阶梯。长远看，他们中的一部分人以后可能会从事和数学相关度较高的职业，比如软件工程司，或者财务工作人员，甚至索性是研究数学的专业人士。因此，他们在基础教育阶段比较全面的数学基础知识和基本能力的学习都是必须的。他们对数学教育的需要，或者说数学教育对他们的价值，就是为他们日后从事研究和创新工作打下良好的知识基础，并且通过漫长而艰苦的数学学习，了解人类数学发展的过程和数学知识产生和发展的历史，培养良好的科学研究的精神品质。

讨论数学教育价值还可以从数学的本质谈起。数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及完美境界的追求。它的基本要素是，逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。⒀作为课程形态的数学文化的外延应包括数学史的知识；反映数学家的求真、求善、求美、智慧、创新、探索精神等的故事；反映数学重要概念的产生、发展过程及其本质；可以向数学应用方向扩展的重要数学概念、数学思想、数学方法；数学思维和处理问题的方式；数学科学对人类社会和经济发展的巨大作用的体现等。⒁

总的来说，数学教育的内容可以归纳为两种呈现形式，即学科知识形式和文化形式，因此数学教育的价值也可以从科学价值和文化价值两个方面来分析。

就数学学科本身的发展而言，基础教育阶段的数学教育当然是非常重要的。数学本身的发展需要大批学习数学、研究数学和热爱数学的人。他们在基础教育阶段学习数学的各个领域中的全面的知识，了解各个分支的数学的最新的发展，通过积累逐步踏上进一步在数学中创新的平台。

数学教育对其它相关学科的发展也是有十分重要的价值的。物理学的发展与数学有非常紧密的关系，数学的思想是许多物理学说的核心思想；年轻的经济学自从引入了数学分析的方法之后产生了质变的发展，成为一门真正的科学；化学中的很多研究方法与数学也有十分重要的关系；甚至现在很多的其它学科的科学研究工作都要借助数学中统计分析的方法。可以说，数学已经成为现代科学技术的语言和工具。⒂可见，数学教育对几乎所有的学科领域，对世界的科学技术的发展都有重要的影响，它的价值正是通过那些数学学习者和应用者在各个领域中使用数学知识和数学能力得以体现的。

当然应当注意到的是，学生在学习数学的时候，得到的不仅仅是他们以后可以直接应用的数学知识。数学还培养了各种可以迁移到各个实用领域和研究领域的数学思维能力，如逻辑思维能力、空间想象能力、分析综合能力和归纳演绎能力等等。

除了数学教育的科学价值之外，它还具有重要的文化价值。全日制义务教育数学课程标准指出，“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。普通高中数学课程标准（实验）解读到，“一般说来，数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，对于人的思维的训练功能和发展人的创造思维的功能，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等”。⒃

作为文化呈现的数学教育的价值体现在树立人类追求终极真理追求的坚定信念，为人类的发展提供永恒的精神动力和文化基础。虽然我们所有人都希望人类进步和科学发展，但是大多数人不可能以科学作为终生事业。大多数人在生活中和数学发生关系基本是出于一种实用的目的。但是追求真理的精神对于所有人，乃至人类整体都是极有价值的。人类的这种理性探索有一个永恒的主题，这就是：“认识宇宙，也认识人类自己。”

众所周知，数学学习很难，也很辛苦，还特别枯燥。小到解决一个数学题目，大到撰写一篇数学论文，都是一个艰苦地追求正确方法和最终答案的过程。就拿数学家艰难创造的数学论文来说吧。绝大部分论文都是不会结果的花。有些论文的作用在于磨练一种方法，弄清某些细节；有些论文是传递火种的薪柴。人类有成千上万的人参加到数学研究的队伍中来，多数人的工作没有显著的成果，只有少数人得到了胜利。但是没有这么多的人孜孜不倦地把自己的终生奉献而不计得失，就不能想像科学和文化的进步。⒄人类对真理追求的实现正是在这样的前赴后继的进程中步步向前逼近的。虽然没有人可以告诉我们终点在哪里，或者是否存在，但是我们人类终归在这种信念的支撑下永往直前着。数学，这个“人类悟性的自由创造物”在教育人类的传承文化和坚守信念的过程中承载着不可磨灭的功绩。

数学追求一种完全确定，完全可靠的知识；数学作为人类文化的组成部分不断地追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙根本；数学不仅研究宇宙，也研究自己。⒅

由于数学的这几个重要的特征，数学教育的价值又体现在培养思维能力，尤其是抽象思维能力，甚至提高人类智力方面。上文所提及的苏格拉底所设想的理想国中对数学教育重视的最终目的实际上是学习哲学，这也是苏格拉底认为的教育最高目的。柏拉图把数学分成两部分，一部分是低级的、粗俗的，它们服务于日常的、物质的需要；另一部分则是高级的，其目的则是使灵魂升华，超出各种污浊的功利之念，服务于哲学的根本目的，即达于至善。⒆代表人类智慧的哲学家中有许多本身就是数学家。逻辑学的祖师爷亚里斯多德的逻辑其实是由数学而来的。亚里斯多德的假言推理（modus ponens）是“如果命题A为真，而且A蕴含了命题B，则B也为真”，这正是数学的推理。罗素用逻辑概念来定义自然数，他的逻辑公理其实也是数学公理。另外，考验人类智慧的人对宇宙的探究与数学也密切相关。从最初的试图以几何模型去描述宇宙，到牛顿用微积分描述的天体引力，再到爱因斯坦的相对论，每一认识上的飞跃都是人类智慧在数学中得到的提升。

根据基础教育程度的基础性、对象的全民性和内容的全面性的特征，依据国内外有关基础教育的材料分析，基础教育的特殊目的可以概括为培养学生的创造性思维能力和批判性思维能力。⒇从数学的发展历程来看，数学教育在这一点上的价值也是无可替代的。欧几里得的《几何原本》不仅对几何学的发展起到了重大的贡献，它的公理化的研究思想对物理学，甚至很多其它科学对产生了不可逆转的影响。但是数学本身的发展并没有因此而止步不前。已经成为“人类悟性的自由创造物”的数学在发展过程中不断地否定自己、颠覆自己，然后又一次次地浴火重生，重新为人类智慧的发展，为人类追求认识宇宙和认识自我的终极目标做出贡献。从欧氏几何开始，具有批判精神和创新本质的数学经历了非欧几何的诞生，它直接改变了人类的时空观；与非欧几何破除平行公理类似，虚数的诞生打破了统治数学的乘法必须适合交换率的成见；再到现代的1930年康德尔的证明颠覆了数学的基础。康德尔在论文“论《数学原理》及其系统的形式不可判定命题”中得出了两个定理。其一说的是相容性必导致不完全性。其二说的是上述系统的相容性是不可判定的。这样一来，既然存在不可判定的命题，则肯定此命题或否定此命题均可，均不致引起矛盾。所以既可以用此命题也可以用其反命题作公理而得到两个不同的系统，正如既有欧几里得几何，又有非欧几何一样。增加一个公理，又会有新的不可判定命题，又会有新的“非欧几何”。这样一来，原来大家都认为自己是追求确定性的真理的，现在“真理”在哪里呢？（21）数学的这样的创新和批判的特质不仅对接受数学教育的学生有重要的价值，甚至对整个人类反思自己，对自己的思想和行为进行批判性思考都是有核心的价值的。

总之，数学教育的价值既可以从受教育对象的不同阶段的不同需要来看，它可以是日常应用性的数学，也可以是为了继续学习数学或研究其他学科的数学基础。数学教育的价值还可以从教育的不同时期来看，它既可以是基础教育阶段的重视基础数学知识、数学技能和数学思想方法，也可以是更高程度地将数学作为一种科学来学习和研究时的数学思想、数学研究方法和创新的数学结论。数学教育的价值还可以从数学的科学属性和文化属性来看。数学作为科学的一部分，它本身的发展需要有价值的数学教育，他对其它学科的贡献也需要有价值的数学教育。数学作为一种文化，它的教育价值体现在为人类的进步做出的贡献上，带领人类智慧发展，精神进取。尤其是数学的批判性和创造性的特点，使它在人类进程的每一阶段中都功不可没。而数学教育的文化价值正是在数学教育的各个阶段，通过各种形式的教育内容，在每一代人的心灵中得到沉淀的。人类创造了数学，数学也通过教育塑造着未来的人和人类。

数学教育的科学价值主要包括数学的科学价值、数学教育的科学素养价值。

一、数学的科学价值

数学对于科学的价值，表现在诸如物理、化学、生物、天文等学科的产生和发展的许多方面。如果从数学的要素来看，具体表现在以下四个方面。

1、数学知识的应用

科学与数学的结合产生了一些交叉和边缘学科，如数学物理方程(方法)、生物数学、数学生态学等。

2、数学(符号)语言的应用

数学是科学的主要术语。比如，当代物理学的基本规律--牛顿力学的运动规律，牛顿万有引力定律，电磁场原理，热力学第一、第二定律，统计力学原理，狭义相对论原理，广义相对论原理，量子力学定律，电子的相对论波动原理，规范场论等的表述。

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3、数学思想方法的应用

在现代科学中，由于数学思想方法的广泛应用，从而产生了大量与计算有关的边缘科学和交叉科学，如计算力学、计算流体力学、计算结构力学、计算物理学、计算化学、计算生物学、计算胚胎学、计算地质学、计算地震学、数值气象学等。

4、数学思维方式的应用

诸如符号化、数学化、抽象化、公理化、结构化、逻辑分析、推理计算、从数据进行推断、优化等数学思维方式在科学理论的建构和发展中起着非常重要的作用。

二、数学教育的科学素养价值

数学教育的科学素养价值，是指数学教育对形成人的科学素养(如科学意识，科学思想、方法，科学精神，科学态度，科学品质)的意义和作用。具体说来，它有如下几个特性。

1、数学中的科学特性

“世界是可被认识的”的科学观，科学的“真、善、美”的本质观，科学理论评价的“外部的确认”与“内部的完美”两条标准，科学知识的发展性和不确定性，科学探索中的“观察”“实验”“验证”“证据”，科学的解释和预测功能等诸多的科学特性，也无不都是数学的特性。

2、数学中的科学思想方法

无论是实证方法、理性方法、臻美方法，还是科学发现中的类比推理、合情推理、直觉和灵感，无不与数学的发现方法和模式完全相同和一致。

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3、数学中的科学精神

数学体现的科学精神有:求真、求实、客观的精神，合理怀疑、批判、创新的精神，民主、平等、合作的精神，不断探索、顽强执著、锲而不舍的精神，等等。

4、数学的科学应用

数学的产生和发展同其他科学一样，来自于问题。这里的问题一般可分为实际问题和理论问题两类。科学所研究的自然界无疑是实际问题的源泉，如作为世界上发展最早、历史最长的天文学之一的中国古代天文学，它所研究的历法编算和天象观测与数学就有着密切的联系。